분리 사상

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 뇌터 스킴의 값매김 조건
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

분리 사상은 대수기하학에서 사용되는 스킴 사상의 한 종류로, 대각 사상이 닫힌 몰입인 사상을 의미한다. 준분리 사상과 분리 스킴, 그리고 뇌터 스킴의 값매김 조건 등과 관련된 정의와 성질을 가진다. 모든 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이며, 모든 대수다양체는 분리 스킴이다. 알렉산더 그로텐디크는 초기에는 분리 준스킴만을 스킴으로 정의했으나, 이후 모든 준스킴을 스킴으로 정의하는 방식으로 변경하였다.

더 읽어볼만한 페이지

스킴 이론 - 정역
정역은 환론에서 영인자가 없는 가환환으로, 자명환이 아니면서 0이 아닌 두 원소의 곱이 항상 0이 아닌 환이며, 체의 부분환과 동형이고, 스킴 이론에서 정역 스킴으로 확장되며, 정수환, 체, 대수적 수체의 대수적 정수환 등이 그 예시이다.
스킴 이론 - 환의 스펙트럼
환의 스펙트럼은 가환환의 소 아이디얼들의 집합으로 정의되며, 자리스키 위상과 구조층을 통해 위상 공간이자 국소환 달린 공간을 이루어 아핀 스킴과 스킴을 정의하는 데 중요한 역할을 한다.

분리 사상
정의
분리 사상	대각 사상 Δ: X → X × Y X가 닫힌 몰입인 사상 f: X → Y
분리 스킴
분리 스킴	대각 사상이 닫힌 몰입인 스킴

2. 정의

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 대각 사상 $\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX$ 이 준콤팩트 함수이면 f를 '''준분리 사상'''이라고 한다. $X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z$ 가 준분리 사상이면 $X$ 를 '''준분리 스킴'''이라고 한다.

스킴 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 사상을 '''분리 사상'''이라고 한다.

대각 사상 $\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX$ 의 상이 닫힌집합이다.^[2]
대각 사상 $\operatorname{diag}_f\colon X\to X\times_YX$ 이 닫힌 몰입이다.^[2]
(값매김 조건 valuative criterion^영어)^[1] 준분리 사상이며, 임의의 값매김환 $R$ 및 표준적 포함 사상 $i\colon\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R\to\operatorname{Spec}R$ 에 대하여, 오른쪽 올림이 만약 존재한다면 유일하다.

:

\begin{matrix}\operatorname{Spec}\operatorname{Frac}R&\xrightarrow x&X\\{\scriptstyle i}\downarrow&\nearrow{\scriptstyle\bar x}&\downarrow\scriptstyle f\\\operatorname{Spec}R&\xrightarrow[\bar y]{}&Y\end{matrix}

X\to\operatorname{Spec}\mathbb Z

가 분리 사상이면

X

를 '''분리 스킴'''이라고 한다.^[2]

2. 1. 뇌터 스킴의 값매김 조건

Y

가 국소 뇌터 스킴이고,

f

가 국소 유한형 사상이라면, 값매김 조건에서 "모든 값매김환

R

…"를 "모든 이산 값매김환

R

…"로 약화시킬 수 있다.^[1]^[2] 국소 뇌터 스킴을 정의역으로 하는 모든 스킴 사상은 준분리 사상이므로,

X

또한 국소 뇌터 스킴이라고 가정한다면 "

f

는 준분리 사상이며, …" 역시 생략할 수 있다.

분리 사상의 값매김 조건에서 "존재한다면 유일하다"를 "유일하게 존재한다"로 바꾸면, 고유 사상의 값매김 조건을 얻는다.

3. 성질

임의의 두 아핀 스킴 사이의 사상은 분리 사상이다.^[2] 특히, 모든 아핀 스킴은 분리 스킴이다. 이 경우, 대각 사상은 자연스러운 환 준동형 사상 𝜙: R ⊗ R → R (∑ᵢ rᵢ ⊗ sᵢ ↦ ∑ᵢ rᵢsᵢ)이며, 이는 항상 전사 준동형이다.

모든 분리 스킴은 준분리 스킴이다.

4. 예

모든 대수다양체는 분리 스킴이다.

체 K에 대하여, 두 개의 아핀 직선 $\mathbb A^1_K$ 을, 0을 제외한 열린 집합 $\mathbb A^1_K\setminus\{0\}$ 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.^[2]

5. 역사

원래 알렉산더 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 1권 초판^[3]에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(prescheme^영어, préschéma^프랑스어)라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판^[4]에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.^[2]

참조

_[1] 저널 Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes http://www.numdam.or[...] 2016-02-26
_[2] 서적 Algebraic geometry Springer 1977
_[3] 저널 Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas http://www.numdam.or[...] 1960
_[4] 서적 Éléments de géométrie algébrique I. Le langage des schémas Springer 1971

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com